Question

（1）阅读理解
先观察和计算，并用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空：4+9______2，
4+4______2，2+3______2．请猜想：当a＞0，b＞0，则a+b______．
如∵，展开，∴6+5．
请你给出猜想的一个相仿的说明过程．
（2）知识应用
①如图⊙O中，⊙O的半径为5，点P为⊙O内一个定点，OP=2，过点P作两条互相垂直的弦，即AC⊥BD，作ON⊥BD，OM⊥AC，垂足为P、N，求OM²+ON²的值．
②在上述基础上，连接AB、BC、CD、DA，利用①中的结论，探求四边形ABCD面积的最大值．

Answer

（1）求出式子的结果，再比较即可；根据完全平方公式大于等于0，展开即可得出答案；
（2）①根据矩形的判定得出矩形MPNO，根据矩形性质得出MN=OP=2，根据勾股定理求出即可；②根据垂径定理求出AC=2CM，BD=2BN，根据勾股定理求出BN2+CM2的值，最后根据以上结论即可求出S≤46，求出答案即可．
（1）【解析】
4+9＞2，4+4=2，2+3＞2，
猜想a+b≥2，
理由是：∵（）2≥0，
∴化简得a+b≥2，
故答案为：＞，=，＞，≥．

（2）①【解析】
连接OP，MN，
∵OM⊥BD，ON⊥AC，AC⊥BD，
∴∠PNO=∠NPM=∠PMO=90°，
∴四边形MPNO是矩形，
∴OP=MN，
∴OM2+QN2=MN2=OP2=4．

②【解析】
连接OC，
∵由勾股定理得：MC2=OC2-OM2=25-OM2，同理BN2=25-ON2，
∴BN2+CM2=50-（OM2+ON2）=50-4=46，
∵S=AC×BD=×2BN×2CM=2BN×CM≤BN2+CM2，
∴S≤46，
即四边形ABCD的面积的最大值是46．