Question

已知：如图，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D点，过D作⊙O的切线交BC于E点，EF⊥AB于F点，连OE交DC于P，则下列结论，其中正确的有（ ）
①BC=2DE；     ②OE∥AB；   ③DE=PD；    ④AC•DF=DE•CD．

A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．①②③④

Answer

本题是一道利用切线性质解答的有关圆的知识题目，根据已知条件可以对已有的4个结论一一进行求解证明，利用切线长定理可以得到P为中点，利用三角形的中位线得到平行，得到E为中点，得到相应答案，利用三角形相似得到④AC•DF=DE•CD，从而得出答案．
【解析】
∵∠ACB=90°
∴BC是⊙O的切线
∵BC是⊙O的切线
∴OE垂直平分CD，∠OEC=∠ODE
∴P是CD的中点
∴OP∥AB，
∴OE∥AB
②正确，
∴E是BC的中点
∵AC是直径
∴∠ADC=90°
∴CD⊥AB
∴∠CDB=90°
∴BC=2DE，①正确；
∵EF⊥AB
∴∠DFE=90°
∴△ACD∽△EDF
∴
∴AC•DF=DE•CD，④正确．
在四边形PDFE中，我们可以证明它是矩形，而不具备证明它是正方形的条件，
∴DE=只有PE=PD时DE才等于PD．
∴③DE=PD不成立
综上所述，正确的是C
故选C