Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，∠ACD=30°，AB=12，BC=10，求四边形ABCD的周长．

Answer

如图，过点B作BE⊥AC于E，把△ABC分割成两个直角三角形，然后解直角三角形ABE，求出AE、BE，再利用勾股定理在Rt△BEC求出CE，这样就求出AC，最后在Rt△ADC中解直角三角形就可以求出AD，再利用三角函数求出DC的长，从而求出四边形ABCD的周长．
【解析】
如图，过点B作BE⊥AC于E，则∠AEB=∠BEC=90°．
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠ACD=30°．
又∵AB=12，
∴EB=AB=6，AE=AB•cos30°=6，
在Rt△BEC中，∠BEC=90°，
∴CE==8，
∴AC=AE+EC=6+8，
在Rt△ADC中，∠D=90°，∠ACD=30°，
∴AD=AC=3+4，DC=AC•cos30°=（6+8）×=9+4，
∴四边形ABCD的周长=AD+DC+BC+AB=3+4+9+4+10+12=35+7．