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在课外小组活动时,小慧拿来一道题(原问题)和小东、小明交流. 原问题:如图1,已...

在课外小组活动时,小慧拿来一道题(原问题)和小东、小明交流.
原问题:如图1,已知△ABC,∠ACB=90°,∠ABC=45°,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.
小慧同学的思路是:过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形,通过推理使问题得解.
小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60度.
小明同学经过合情推理,提出一个猜想,我们可以把问题推广到一般情况.
请你参考小慧同学的思路,探究并解决这三位同学提出的问题:
(1)写出原问题中DF与EF的数量关系;
(2)如图2,若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明;
(3)如图3,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明.

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本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解.先根据直角三角形的性质,等边三角形的性质得到一些隐含的条件,然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等;再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想. 【解析】 (1)DF=EF. (2)猜想:DF=FE. 证明:过点D作DG⊥AB于G,则∠DGB=90度. ∵DA=DB,∠ADB=60度. ∴AG=BG,△DBA是等边三角形. ∴DB=BA. ∵∠ACB=90°,∠ABC=30°, ∴AC=AB=BG. ∴△DBG≌△BAC. ∴DG=BC. ∵BE=EC,∠BEC=60°, ∴△EBC是等边三角形. ∴BC=BE,∠CBE=60度. ∴DG=BE,∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°. ∵∠DFG=∠EFB,∠DGF=∠EBF, ∴△DFG≌△EFB. ∴DF=EF. (3)猜想:DF=FE. 证法一:过点D作DH⊥AB于H,连接HC,HE,HE交CB于K,则∠DHB=90度. ∵DA=DB, ∴AH=BH,∠1=∠HDB. ∵∠ACB=90°, ∴HC=HB. ∵EB=EC,HE=HE, ∴△HBE≌△HCE. ∴∠2=∠3,∠4=∠BEH. ∴HK⊥BC. ∴∠BKE=90°. ∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC, ∴∠HDB=∠BEH=∠ABC. ∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°, ∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°. ∴DB∥HE,DH∥BE. ∴四边形DHEB是平行四边形. ∴DF=EF. 证法二:分别过点D、E作DH⊥AB于H,EK⊥BC于K,连接HK,则 ∠DHB=∠EKB=90度. ∵∠ACB=90°, ∴EK∥AC. ∵DA=DB,EB=EC, ∴AH=BH,∠1=∠HDB, CK=BK,∠2=∠BEK. ∴HK∥AC. ∴点H、K、E在同一条直线上. 下同证法一.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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