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已知抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),与x轴正半轴交于点D....

已知抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),与x轴正半轴交于点D.
(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)在x轴上求一点E,使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形;
(3)在(2)的条件下,过线段ED上动点P作直线PF∥BC,与BE、CE分别交于点F、G,将△EFG沿FG翻折得到△E′FG.设P(x,0),△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S,求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.

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(1)根据抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),于是可设出一般式,用待定系数法求出解析式,再根据解析式求出D点坐标; (2)设出E点坐标,作出辅助直角三角形,运用等腰三角形的性质和勾股定理建立等式,求出E点坐标; (3)由于P点为动点,故根据x的不同取值会得到不同的重叠图形.由于BC的中点横坐标为=2,抛物线与x轴的交点横坐标4,所以分-1<x≤2,2<x≤4等情况讨论. 【解析】 (1)依题意,设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+4, 则,(1分) 解得, ∴所求抛物线的解析式为.(2分) 由, 解得x1=4,x2=-3. ∴D(4,0).(3分) (2)如图,过点C作CN⊥x轴于N,过点E、B分别 作x轴、y轴的垂线,两线交于点M. ∴∠M=∠CNE=90度. 设E(a,0),EB=EC. ∴BM2+EM2=CN2+EN2. ∴(1-a)2+(4-0)2=(2-0)2+(3-a)2. 解得a=-1. ∴E(-1,0).(4分) (3)可求得直线BC的解析式为y=-x+5. 从而直线BC与x轴的交点为H(5,0). 如图,根据轴对称性可知S△E′FG=S△EFG, 当点E′在BC上时,点F是BE的中点. ∵FG∥BC, ∴△EFP∽△EBH. 可证EP=PH. ∵E(-1,0),H(5,0), ∴P(2,0).(5分) (i)如图,分别过点B、C作BK⊥ED于K, CJ⊥ED于J, 则S△BCE=S△BEH-S△CEH=EH•(BK-CJ)=6. 当-1<x≤2时, ∵PF∥BC, ∴△EGP∽△ECH,△EFG∽△EBC. ∴, ∵P(x,0),E(-1,0),H(5,0), ∴EP=x+1,EH=6. ∴S=S△E′FG=S△EFG==x2+x+(-1<x≤2).(6分) (ii)如图,当2<x≤4时,在x轴上截取一点Q,使得PQ=HP,过点Q作 QM∥FG,分别交EB、EC于M、N. 可证S=S四边形MNGF,△ENQ∽△ECH,△EMN∽△EBC. ∴=,== ∵P(x,0),E(-1,0),H(5,0), ∴EH=6,PQ=PH=5-x,EP=x+1, EQ=6-2(5-x)=2x-4. ∴S△EMN=(7分) 同(i)可得S△EFG=, ∴S=S△EFG-S△EMN=-=-x2+3x-(2<x≤4).(8分) 综上,.
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考点分析:
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在课外小组活动时,小慧拿来一道题(原问题)和小东、小明交流.
原问题:如图1,已知△ABC,∠ACB=90°,∠ABC=45°,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.
小慧同学的思路是:过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形,通过推理使问题得解.
小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60度.
小明同学经过合情推理,提出一个猜想,我们可以把问题推广到一般情况.
请你参考小慧同学的思路,探究并解决这三位同学提出的问题:
(1)写出原问题中DF与EF的数量关系;
(2)如图2,若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明;
(3)如图3,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明.

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(1)如图2,已知平行四边形ABCD,请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE(要求:画出必要的辅助线);
(2)已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点(不与B、D点重合),请分别探究图3、图4中S1,S2,S3,S4四者之间的等量关系(S1,S2,S3,S4分别表示△ABP,△CBP,△CDP,△ADP的面积):
①如图3,当四边形ABCD只有一对等高点A、C时,你得到的一个结论是______
②如图4,当四边形ABCD没有等高点时,你得到的一个结论是______
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(1)D型号种子数是______粒;
(2)请你将图2的统计图补充完整;
(3)通过计算说明,应选哪一个型号的种子进行推广;如果所选型号进行推广的种子共有200 000粒,估计能有多少粒种子会发芽.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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