Question

已知抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），与x轴正半轴交于点D．
（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF∥BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E′FG．设P（x，0），△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer

（1）根据抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），于是可设出一般式，用待定系数法求出解析式，再根据解析式求出D点坐标；
（2）设出E点坐标，作出辅助直角三角形，运用等腰三角形的性质和勾股定理建立等式，求出E点坐标；
（3）由于P点为动点，故根据x的不同取值会得到不同的重叠图形．由于BC的中点横坐标为=2，抛物线与x轴的交点横坐标4，所以分-1＜x≤2，2＜x≤4等情况讨论．
【解析】
（1）依题意，设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+4，
则，（1分）
解得，
∴所求抛物线的解析式为．（2分）
由，
解得x1=4，x2=-3．
∴D（4，0）．（3分）

（2）如图，过点C作CN⊥x轴于N，过点E、B分别
作x轴、y轴的垂线，两线交于点M．
∴∠M=∠CNE=90度．
设E（a，0），EB=EC．
∴BM2+EM2=CN2+EN2．
∴（1-a）2+（4-0）2=（2-0）2+（3-a）2．
解得a=-1．
∴E（-1，0）．（4分）

（3）可求得直线BC的解析式为y=-x+5．
从而直线BC与x轴的交点为H（5，0）．
如图，根据轴对称性可知S△E′FG=S△EFG，
当点E′在BC上时，点F是BE的中点．
∵FG∥BC，
∴△EFP∽△EBH．
可证EP=PH．
∵E（-1，0），H（5，0），
∴P（2，0）．（5分）
（i）如图，分别过点B、C作BK⊥ED于K，
CJ⊥ED于J，
则S△BCE=S△BEH-S△CEH=EH•（BK-CJ）=6．
当-1＜x≤2时，
∵PF∥BC，
∴△EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC．
∴，
∵P（x，0），E（-1，0），H（5，0），
∴EP=x+1，EH=6．
∴S=S△E′FG=S△EFG==x2+x+（-1＜x≤2）．（6分）
（ii）如图，当2＜x≤4时，在x轴上截取一点Q，使得PQ=HP，过点Q作
QM∥FG，分别交EB、EC于M、N．
可证S=S四边形MNGF，△ENQ∽△ECH，△EMN∽△EBC．
∴=，==
∵P（x，0），E（-1，0），H（5，0），
∴EH=6，PQ=PH=5-x，EP=x+1，
EQ=6-2（5-x）=2x-4．
∴S△EMN=（7分）
同（i）可得S△EFG=，
∴S=S△EFG-S△EMN=-=-x2+3x-（2＜x≤4）．（8分）
综上，．