Question

如图，A、B、C是⊙0上的三点，以BC为一边，作∠CBD=∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E．若∠AOC=60°，BE=12，则点P到弦AB的距离为    ．

Answer

过P作PF⊥AB于F，PG⊥BD于G．先由圆周角定理得出∠CBD=∠ABC=30°，再根据角平分线的性质得出PF=PG，由平行线的性质及三角形外角的性质得出∠PEG=60°，然后解直角△PEG，求出PG的长，由此得解．
【解析】
过P作PF⊥AB于F，PG⊥BD于G．
∵∠CBD=∠ABC，PE∥AB交BD于点E，∠AOC=60°，BE=12，
∴∠CBD=∠ABC=30°．
∴BC为∠ABD的角平分线，PF=PG．
又∵PE∥AB，
∴∠BPE=∠ABC=∠CBD=30°，
∴∠PEG=∠BPE+∠CBD=30°+30°=60°．
∵PG⊥BD，
∴∠PGE=90°，
∴sin∠PEG==
∴PG=×PE=×12=6，
∴PF=PG=6．
故答案为6．