Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连接OA．
（1）求B点的坐标；
（2）若抛物线y=-x²+bx+c经过点A、B．
①求抛物线的解析式及顶点坐标；
②将抛物线竖直向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围．

Answer

（1）根据点A的坐标是（-2，4），得出B点的坐标即可；
（2）①把点A的坐标（-2，4），B（0，4）代入y=-x2+bx+c中，直接得出抛物线的解析式及顶点坐标；
②利用二次函数的顶点坐标，根据AB的中点E的坐标以及F点的坐标即可得出m的取值范围．
【解析】
（1）∵点A的坐标是（-2，4），AB⊥y轴，
∴AB=2，OB=4，
∴B点的坐标为；（0，4），

（2）①把点A的坐标（-2，4），B点的坐标为；（0，4），
代入y=-x2+bx+c中，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+4=-（x+1）2+5，
∴抛物线顶点D的坐标是（-1，5），
②过抛物线的顶点作DE⊥AB于点E，
∵AB的中点为E，A的坐标（-2，4），
∴E的坐标是（-1，4），
∵OA的中点F，
∴F的坐标是（-1，2），
当D点平移到E点时，平移后得到的抛物线顶点落不在△OAB的内部，再继续往下平移正好进入△OAB的内部，
当D点平移到F点时，平移后得到的抛物线顶点落正好不在△OAB的内部，
∴m的取值范围是：1＜m＜3．