Question

如图，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y=ax²+bx+c经过x轴上的点A，B．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．

Answer

（1）在平行四边形ABCD中，根据平行四边形的性质，CD∥AB且CD=AB=4，且C的纵坐标与D相同，
运用平行四边形的性质，结合图形得出；
（2）先根据题（1）求出抛物线的解析式，再在次抛物线基础上平移，即抛物线的对称轴不变．根据抛物线的性质特点，可设平移后抛物线的解析式为y=-2（x-4）2+8+k，平移后抛物线经过D点，将D（0，8）代入解析式，求出即可．
【解析】
（1）在平行四边形ABCD中，CD∥AB且CD=AB=4，
∴点C的坐标为（4，8）（1分）
设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，
则AH=BH=2，（2分）
∴点A，B的坐标为A（2，0），B（6，0）．（4分）

（2）由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（4，8），
可设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+8，（5分）
把A（2，0）代入上式，
解得a=-2．（6分）
设平移后抛物线的解析式为y=-2（x-4）2+8+k，
把（0，8）代入上式得k=32，（7分）
∴平移后抛物线的解析式为y=-2（x-4）2+40，（8分）
即y=-2x2+16x+8．