Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是AB延长线上一点，∠FCB=∠A．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）若DB=4，sinD=，求⊙O的直径．

Answer

（1）连接OC，由OA=OA可知∠ACO=∠A，再根据∠FCB=∠A可知∠ACO=∠FCB，由于AB是⊙O的直径，所以∠ACO+∠OCB=90°故∠FCB+∠OCB=90°故可得出结论；
（2）由AB是⊙O的直径，CD⊥AB可知=，再根据BC=BD=4，可知∠D=∠A，由sinD=得出sinA=，故可得出=，进而得出AB的长．
证明：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
又∵∠FCB=∠A
∴∠ACO=∠FCB，
又∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°，∠FCB+∠OCB=90°
∴直线CF为⊙O的切线，

（2）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB
∴=，
∴BC=BD=4，∠D=∠A，
又∵sinD=，
∴sinA=，
∴=
∴AB=10．
答：⊙O的直径为10．