Question

在数学“综合与实践”课中，陈老师要求同学们制作一张直角梯形纸片ABCD，要求梯形的上底AD=3cm，下底BC=5cm．探索：当直角梯形ABCD的高AB是多少厘米时，将该梯形沿某一直线剪成两部分后，能拼成一个既不重叠又无空隙的特殊几何图形．
（1）如图1，小颖过腰CD的中点E作EF⊥BC于F，沿EF将梯形剪切后，拼成正方形．求小颖所制作的直角梯形的高AB是多少厘米？
（2）如图2，小亮过点B作BM⊥CD于M，沿BM将梯形剪切后，拼成直角三角形．请在答题卡的相应位置补全拼后的一种直角三角形草图，并求小亮所制作的直角梯形的高AB是多少厘米？
（3）探索当直角梯形的高AB是多少厘米时，将该梯形沿某一直线剪成两部分后，能拼成一个不是正方形的菱形．请在答题卡的相应位置画出两种不同剪切、拼图方法的草图，并直接写出原直角梯形的高AB．

Answer

（1）由拼图可知△DGE≌△CFE，若四边形ABFG是正方形，设DG为x，AG=BF=AB，即3+x=5-x，求出x的值，由AB=AG即可得出结论；
（2）按如图2方式拼接，由拼图可知△GAD≌△BMC，由勾股定理可求出GA的长，由相似三角形的判定定理得出△GAD∽△GMB，故可得出，即，求出GB的长，进而可得出AB的长；
（3）按如图4方式拼接成一个菱形，过点D作DM⊥BC于点M，则AB=DM，由菱形的性质得出CD的长，在Rt△DMC中利用勾股定理可求出DM的长，故可得出结论；按如图5方式拼接成一个菱形，由AD=3cm，BC=5cm可设BM=x，则CM=5-x，ND=MN=3+x，四边形NMCD是菱形可求出x的值，在Rt△OBM中利用勾股定理可求出OB的长，进而可得出AB的长．
【解析】
（1）∵由拼图可知△DGE≌△CFE，由拼图得，若四边形ABFG是正方形，设DG为x，
∴AG=BF=AB，即3+x=5-x，
解得：x=1，
∴AB=AG=3+1=4；                   

（2）拼法1：按如图2方式拼接，由拼图可知△GAD≌△BMC，
解法一：∵GD=BC=5，由勾股定理可得：
∴BM=AG=4，
∵∠GAD=∠GMB=90°，∠G=∠G，
∴△GAD∽△GMB，
∴，即，
解得：，
∴，
解法二：∵CM=AD=3，由勾股定理可得：，
作DE⊥BC于E，得EC=2，
∵∠BMC=∠DEC=90°，
∴tanC=，
∴，
∴AB=DE=．
拼法2：按如图3方式拼接，
由拼图可知，△HMD≌△BMC，
∴∠HMD+∠BMD=180°，∠HDM+∠ADC=180°，
∴点H是AD与BM延长线的交点，
则HD=BC=5，HM=BM，
∵∠HMD=∠A=90°，
由cosH==，即，解得：，
∴BH=2HM=4，
由勾股定理可得：；

（3）按如图4方式拼接成一个菱形，过点D作DM⊥BC于点M，则AB=DM，
则AD=3，BC=5，四边形GHCF是菱形，
则CH=CF=8，
则MC=CB-AD=5-3=2，DC=2CF=16，
在Rt△DMC中，DM===6，即梯形高AB=6cm；             
按如图5方式拼接成一个菱形，
∵AD=3，BC=5，
∴设BM=x，则CM=5-x，ND=MN=3+x，
∵四边形NMCD是菱形，
∴CM=ND=MN，即5-x=3+x，解得x=1，
∴CM=MN=4，
∴OM=MN=2，
在Rt△OBM中，OB===，
∴AB=2OB=2（cm），即梯形高为2cm．