Question

某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆，△EMN是随MN滑动而变化的三角通风窗（阴影部分均不通风）．
（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积．
（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数．
（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值？若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．

Answer

（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN位于DC下方，此时△EMN中MN边上的高为0.5米，根据三角形的面积公式即可求出△EMN的面积；
（2）分两种情况讨论：①当0＜x≤1时，根据三角形的面积公式直接得出△EMN的面积S与x的函数解析式；②当1＜x＜1+时，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，先求FG，再证△MNG∽△DCG，继而得出△EMN的面积S与x的函数解析式；
（3）先分两种情况讨论：①当0＜x≤1时，S=x，根据一次函数的性质解答；②当1＜x＜1+时，S=-x2+（1+）x．由二次函数的性质可知，在对称轴时取得最大值．再比较即可．
【解析】
（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米．
则S△EMN=×2×0.5=0.5（平方米）．
即△EMN的面积为0.5平方米；

（2）分两种情况：
①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，即0＜x≤1时，
△EMN的面积S=×2×x=x；
②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜1+时，
如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，
∵E为AB中点，
∴F为CD中点，GF⊥CD，且FG=．
又∵MN∥CD，
∴△MNG∽△DCG，
=，
∴MN=
故△EMN的面积S=××x=-x2+（1+）x．
综合可得：S=；

（3）分两种情况：
①当MN在矩形区域滑动，即0＜x≤1时，S=x，
∵S随x的增大而增大，
又∵0＜x≤1，
∴当x=1时，S有最大值1；
②当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜1+时，S=-x2+（1+）x，
∴当x=-=时，S有最大值，此时最大值S==+．
∵+＞1，
∴S有最大值，最大值为（+）平方米．