Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为（-4，0）、（0，4），⊙C的圆心坐标为C（2，0），半径为2．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是    ．

Answer

由于OA的长为定值，若△ABE的面积最大，则BE的长最长，此时AD与⊙相切且位于x轴的下方；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的面积；易证得△AEO∽△ACD，可以求出OE的长，进而可得出△AOB和△AOE的面积和，由此得解．
【解析】
若△ABE的面积最大，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；
∴△AEO∽△ACD
∴
∵A（-4，0）、B（0，4）、C（2，0），
∴AC=6，AO=4，CD=2，
∴AD=4，
∴，
∴OE=，
∴△ABE的最大面积为：×4×+×4×4=2+8，
故答案为：2+8