Question

如图，正方形ABCO的边长为，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转α后得到正方形A₁B₁C₁O（α＜45°），B₁C₁交y轴于点D，且D为B₁C₁的中点，抛物线y=ax²+bx+c过点A₁、B₁、C₁．
（1）填空：tanα=______；抛物线的函数表达式是______；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PB₁C₁为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若正方形A₁B₁C₁O以每秒2个单位长度的速度沿射线A₁O下滑，直至顶点B₁落在x轴上时停止．设正方形落在x轴上方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

Answer

（1）①在Rt△ODC1中，由旋转的性质知，∠DOC1=α，而DC1是正方形边长的一半，可据此求出∠α的正切值；
②在求抛物线的解析式中，必须先求出A1、B1、C1三点的坐标，可过这三点分别作坐标轴的垂线（具体向哪条坐标轴作垂线，可视情况而定），通过构建的直角三角形以及∠α的正切值，可求出这三点的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可．
（2）首先要大致确定有几个符合条件的点P：
①点B1是直角顶点，那么点P必为直线A1B1与抛物线对称轴的交点（有一个）；
②点C1是直角顶点，那么点P必为直线OC1与抛物线对称轴的交点（有一个）；
③点P是直角顶点，那么点P必为以线段B1C1为直径的圆与抛物线对称轴的交点（有两个），可过B1、C1作对称轴的垂线，通过构建的相似三角形来求出点P的坐标．
（3）此题的思路并不复杂，但需要考虑的情况较多，大致分成三段考虑即可：
①x轴在O、A1两点之间、②x轴在A1、C1两点之间、③x轴在B1、C1两点之间．
【解析】
（1）①∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴OC1=B1C1，∠OC1B1=90度．
又∵D是B1C1的中点，
∴．
∵由旋转性质可知，∠C1OD=∠AOA1=α，
∴在Rt△C1OD中，tanα=．
∴tanα的值是．
②过点A1作A1E⊥x轴，垂足为点E．
在Rt△A1EO中，tanα=，
∴．
设A1E=k，则OE=2k，在Rt△A1EO中，，
根据勾股定理，得A1E2+OE2=OA12．
即，
解得k1=-1（舍），k2=1．
∴A1E=1，OE=2．
又∵点A1在第二象限，
∴点A1的坐标为（-2，1）．
直接写出点B1的坐标为（-1，3），点C1的坐标为（1，2）．
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A1，B1，C1．
∴
解得
∴抛物线的函数表达式为．

（2）将（1）的抛物线解析式配方，得．
∴抛物线的对称轴是直线．
假设存在符合条件的点P，分三种情况：
①以点B1为直角顶点；
易求得，直线A1B1的解析式：y=2x+5，
当x=-时，y=2×（-）+5=；
②以点C1为直角顶点；
易求得，直线OC1的解析式：y=2x，
当x=-时，y=2×（-）=-；
③以点P为直角顶点；
分别过点B1、C1作抛物线对称轴的垂线，垂足为G、H；（如右图）
设点P（-，y）：
当点P在直线B1C1上方时，
B1G=1-=、PG=y-3、C1H=1+=、PH=y-2
∵∠B1PG=90°-∠C1PH=∠PC1H，∠B1GP=∠PHC1=90°
∴△B1GP∽△PHC1，则
解得：y=、y=（舍）；
当点P在直线B1C1下方时，同上，可求得y=；
综上，存在点P，使△PB1C1为直角三角形．
满足条件的点P共有4个：，，，．

（3）设运动后的正方形为O′A′B′C′，分三种情况：
①当点A′运动到x轴上时，t=；
当0＜t≤时，如图①；
OO′=2t，O′E=OO′=t
∴S=S正方形-S△OO′E=5-×2t×t=-5t2+5；
②当点C′运动到x轴上时，t=1；
当＜t＜1时，如图②；
OO′=2t，OA′=2t-，A′F=OA′=，O′E=OO′=t
B′F=A′B′-A′F=，C′E=O′C′-O′E=-t；
∴S=（B′F+C′E）×B′C′=（+-t）×=；
③当点B′运动到x轴上时，t=；
当1≤t＜时，如图③；
同②可得：B′F=A′B′-A′F=，B′E=2B′F=3-2t；
∴S=××（3-2t）=5t2-15t+；
综上，S=．