Question

如图，三角形ABO的底边A0在x轴上，A（4，5），B（6，0），O（0，0），一次函数y=kx+b的图象过A点．平分它的面积，
（1）若一次函数y=kx+b的图象平分△ABO的面积，求k的值；
（2）在y轴上找一点P，使PA+PB最小，求出点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，若关于x的函数y=（2m+k）x²-（k+3m）x+m的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值．

Answer

（1）由于一次函数y=kx+b过点A且平分△AOB的面积，故此直线一定过线段OB的中点，由B（6，0）可得出其中点坐标，利用待定系数法可求出直线y=kx+b的解析式；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，则线段A′B的长即为PA+PB的最小值，由轴对称的特点求出A′点的坐标，利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，求出此直线与y轴的交点坐标即为P点坐标；
（3）由于关于x的函数y=（2m+k）x2-（k+3m）x+m是二次函数还是一次函数不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解析】
（1）∵一次函数y=kx+b过点A且平分△AOB的面积，
∴此直线一定过线段OB的中点，
∵B（6，0），
∴点C（3，0），
则，
解得；

（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，则线段A′B的长即为PA+PB的最小值，
∵A（4，5），
∴A′（-4，5），
设直线A′B的解析式为y=ax+m，则
，
解得，
故直线A′B的解析式为y=-x+3，
当x=0时y=3，
则P（0，3）；

（3）∵k=5，
∴关于x的函数y=（2m+k）x2-（k+3m）x+m可化为y=（2m+5）x2-（5+3m）x+m，
当此函数是一次函数时2m+5=0，即m=-；
当此函数是二次函数时，
∵此函数与坐标轴有两个交点，
∴函数与x轴只有一个交点，
∴△=[-（5+3m）]2-4m（2m+5）=0，
解得m=-5．
故m=-或m=-5．