Question

如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．
（1）求证：BC=CF；
（2）若AD=6，DE=8，求BE的长；
（3）求证：AF+2DF=AB．

Answer

（1）根据切线的性质首先得出CO⊥ED，再利用平行线的判定得出CO∥AD，进而利用圆周角、圆心角定理得出BC=CF；
（2）首先求出△EOC∽△EAD，进而得出r的长，即可求出BE的长；
（3）利用全等三角形的判定得出Rt△AGC≌Rt△ADC，进而得出Rt△CGB≌Rt△CDF，即可求出AD+DF=AB得出答案即可．
（1）证明：如图，连接OC，
∵ED切⊙O于点C，
∴CO⊥ED，
∵AD⊥EC，
∴CO∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
∵∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠CAD，
∴=，
∴BC=CF；

（2）【解析】
在Rt△ADE中，
∵AD=6，DE=8，
根据勾股定理得AE=10，
∵CO∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴=，
设⊙O的半径为r，
∴OE=10-r，
∴=，
∴r=，
∴BE=10-2r=；

（3）证明：过C作CG⊥AB于G，
∵∠OAC=∠CAD，AD⊥EC，
∴CG=CD，
在Rt△AGC和Rt△ADC中，
∵，
∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL），
∴AG=AD，
在Rt△CGB和Rt△CDF中，
∵，
∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），
∴GB=DF，
∵AG+GB=AB，
∴AD+DF=AB，
AF+DF+DF=AB，
∴AF+2DF=AB．