Question

如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是高，∠ABC的平分线交AD、AC于E、F，点P是BF延长线上一点，且∠APB=45°，连接PC；以下结论：①CF=2DE；②BE=PE；③AE•CF=AP•EF；④BF•PB+CF•AC=AB²．其中正确的结论是（ ）

A．①②
B．①③④
C．①②③
D．①②③④

Answer

首先过点F作FG⊥BC于G，由题意易得△ABD，△ACD，△CFG是等腰直角三角形，△AEF与△APE是等腰三角形，然后由△ABF∽△DBE，可求得①正确；再过点P作PH⊥AD于H，由等腰三角形的性质与平行线分线段成比例定理，可求得②正确；又由△ABP∽△FBC，可证得③正确；由△ABP∽△FBC，可得BF•PB=AB•BC=AB2，由CF=FG=AF，可得CF•AC=（2-）AB2，继而可求得BF•PB+CF•AC=2AB2．
【解析】
过点F作FG⊥BC于G，
∵等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵AD是高，EF是∠ABC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=45°，∠ABF=∠CBF=∠ABC=22.5°，FG=FA，
∴△ABD、△ACD与△CFG是等腰直角三角形，
∴AD=BD=CD，
∵∠ABF=∠CBF，∠BAF=∠BDE=90°，
∴△ABF∽△DBE，
∴AF：DE=AB：BD=，
∴AF=DE，
∴FG=DE，
∵CF=FG=×DE=2DE，
故①正确；
过点P作PH⊥AD于H，
∵∠APB=45°，∠EAF=45°，∠AEP=∠BED=90°-∠CBF=67.5°，
∴∠PAE=180°-∠APB-∠AEP=67.5°，∠AFE=180°-∠AEF-∠EAF=67.5°，
∴∠PAE=∠AEP，∠EAF=∠AEF，
∴PA=PE，AE=AF，
∴AH=HE，
∴AE=FG=DE，
∴HE=DE，
∵∠PHD=∠BDH=90°，
∴PH∥BD，
∴PE：BE=EH：ED=：2，
∴BE=PE；
故②正确；
∵∠EAF=∠APB，∠AEF=∠AEP，
∴△AEF∽△PEA，
∴AP：AE=AE：EF，
∴AE2=AP•EF，
∵CF=FG=AE，
∴AE•CF=AE2=AP•EF；
故③正确；
∵∠ABP=∠CBP，∠APB=∠ACB=45°，
∴△ABP∽△FBC，
∴AB：BF=PB：BC，
∴AB•BC=BF•PB，
∵BC=AB，
∴BF•PB=AB•BC=AB2，
∵CF=FG=AF，
∴CF=AC=（2-）AC，
∴CF•AC=（2-）AC•AC=（2-）AB2，
∴BF•PB+CF•AC=AB2+（2-）AB2=2AB2．
故④错误．
故选C．