Question

如图，△ABC内接于⊙O，点I是△ABC的内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD、BI；
（1）求证：DB=DI；
（2）连接OI，若OI⊥AD，且AB+AC=10，求BC的长．

Answer

（1）要证明ID=BD，利用内心的定义可以得到∠ABI=∠CBI，然后利用同弧所对的圆周角相等和三角形的外角等于不相邻的两个外角的和，即可证得∠BID=∠IBD，利用等边对等角即可证得；
（2）作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，证得：Rt△BDE≌Rt△AIG，则AG=BE=BC，根据直角三角形的内心的性质可得：AG=（AB+AC-BC），再根据AB+AC=10即可求解．
（1）证明：∵点I是△ABC的内心
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI
∵∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD；

（2）证明：延长AI交⊙O于D，连接OA、OD、BD和BI，
∵OA=OD，OI⊥AD
∴AI=ID，
∵I为△ABC内心，
∴∠BAD=∠BCD，
∴弧BD=弧CD，
∵弧CD=弧CD，
∴∠BCD=∠BAD，
∴∠DBI=∠BCD+∠CBI=∠CAD+∠CBI，
=（∠BAC+∠ACB），
∵∠DIB=∠DAB+∠ABI=（∠BAC+∠ABC），
∴∠DIB=∠DBI，
∴BD=ID=AI，
 =，
故OD⊥BC，记垂足为E，则有BE=BC，
作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，
∴Rt△BDE≌Rt△AIG，
于是，AG=BE=BC，但AG=（AB+AC-BC），
故AB+AC=2BC，
∴BC=5．