Question

某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出800件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖20件．设每件商品售价为x元，每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大销售利润？最大的月销售利润是多少元？
（3）物价部门规定每件商品的利润率不高于100%，商家为了使每个月的销售利润不低于10000元，如何定价，商品的月销售量最大？最大销售量是多少？

Answer

（1）先求出每月的销售量，然后根据总利润=每件的利润×销售量可得出y与x的函数关系式．
（2）根据（1）所得的关系式，运用配方法求函数最值即可．
（3）根据利润不低于10000可得出不等式，解出使x的值最小即可．
【解析】
（1）每月的销售量为：800-20（x-60）件，每件的利润为：60-40+x=20+x元，
∴y=[800-20（x-60）]（20+x）=-20x2+1600x+40000（60≤x＜80）；

（2）由（1）得，y=-20x2+1600x+40000=-20（x-40）2+72000，
又∵60≤x＜80，在此范围内y随x的增大而减小，
∴当x=60时获得最大利润，最大利润为-20×202+72000=64000元．

（3）因为利润率不超过100%，
所以＜100%，
解得：x＜80，
由题意得，y=-20x2+1600x+40000≥10000，
解得：40-10≤x≤40+10，
由（1）得60≤x＜80，
∴当x取60时，商品的销售量最大，最大量为800件．