Question

如图，正方形ABCD中，点E是AB上一点，DE的延长线交CB的延长线于F，连接FA交CD的延长线于G，连接CE交DA的延长线于H；
（1）若点E是AB的中点，写出所有与AH相等的线段，并选其中一条证明；
（2）若点E不是AB的中点，判断（1）中仍与AH相等的线段并证明．

Answer

（1）与AH相等的线段有：AD，AB，BC，CD，GD，选择AH=BC来证明，理由为：由四边形ABCD为正方形，根据正方形的对边平行，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，由E为中点，得到AE=BE，利用AAS得到三角形AEH与三角形BEC全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AH=BC；
（2）由四边形ABCD为正方形，根据正方形的对边平行，根据两直线平行得到两对内错角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形AHE与三角形BCE相似，根据相似得比例可得出AH：BC=AE：EB，同理得到三角形AED与三角形BEF相似，根据相似得比例可得出AD：FB=AE：EB，等量代换可得出AH：BC=AD：FB，再由两直线平行同位角相等可得出两对同位角相等，根据两对对应角相等的三角形相似可得出三角形AGD与三角形FGC相似，根据相似三角形对应边成比例得出GD：GC=AD：FC，变形后根据合比性质化简，可得出GD：BC=AD：FB，可得出AH=GD，得证．
【解析】
（1）AH=AD=AB=BC=CD=GD，
选择AH=BC说明，理由为：
∵四边形ABCD是正方形，
∴DH∥CF，
∴∠H=∠BCE，∠EAH=∠EBC，
又点E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEH和△BEC中，
，
∴△AEH≌△BEC，
∴AH=BC；
（2）AH=GD，理由为：
∵四边形ABCD为正方形，
∴HD∥FC，
∴∠H=∠ECB，∠HAE=∠EBC，
∴△AEH∽△BEC，
∴=，
同理△AED∽△BEF，
∴=，
∴=，
∵AD∥FC，
∴∠GAD=∠GFC，∠GDA=∠GCF，
∴△AGD∽△FGC，
∴=，即=，
∴==，即=，
∴=，
∴=，又BC=CD，
则AH=GD．