Question

如果（x²-2x+m）（x-1）=0方程的三根，可作为一个三角形的三边长，则m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

方程（x2-2x+m）（x-1）=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程x2-2x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2-2x+m=0的两个根设是x2和x3，一定是两个正数，且一定有|x2-x3|＜1＜x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．
【解析】
∵方程（x2-2x+m）（x-1）=0的有三根，
∴x1=1，x2-2x+m=0有两根，
∴方程x2-2x+m=0的△=4-4m≥0，得m≤1．
又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．
∴有x2+x3＞x1=1，|x2-x3|＜x1=1，而x2+x3=2＞1已成立；
当|x2-x3|＜1时，两边平方得：（x2+x3）2-4x2•x3＜1．
即：4-4m＜1．解得，m＞．
∴．
故选B．