Question

已知：如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y=x相切，设半圆C₁、半圆C₂、半圆C_3…的半径分别是r₁、r₂、r_3…．，则当r₁=1时，则r₂₀₁₂=    ．

Answer

设三个半圆与直线y=x分别相切于A、B、C点，分别连接圆心与切点，根据切线的性质得到三个直角三角形，再由直线OC的方程得到直线的倾斜角为30°，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到OC1=2C1A，0C2=2C2B，0C3=2C3C，再由三半圆彼此外切，得到相两圆的圆心距等于两半径相加，得出r1、r2、r3间的关系，由r1的值可得出r2、r3的值，按照此规律可归纳出r2012的值．
【解析】
设半圆C1、半圆C2、半圆C3直线y=x分别相切于点A，B，C，连接C1A，C2B，C3C，
则C1A⊥OA，C2B⊥OB，C3C⊥OC，
∵tan∠COC1=，
∴∠COC1=30°，
又∵三半圆彼此相外切，
∴OC1=2C1A=2r1，0C2=2C2B=2r2=OC1+r1+r2=3r1+r2，0C3=2C3C=OC2+r2+r3=3r1+2r2+r3=2r3，
∴2r2=3r1+r2，3r1+2r2+r3=2r3，
∴r2=3r1，r3=3r1+2r2，
∵r1=1=3，
∴r2=3=31，
∴r3=9=32，
∴按此规律归纳得：rn=3n-1，
∴r2012=32011．
故答案为：32011．