Question

在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，作PE⊥AP，PE交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=x，CE=y．
（1）如图，当点P在边BC上时（点P与点B、C都不重合），求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当x=3时，求CF的长；
（3）当tan∠PAE=时，求BP的长．

Answer

（1）PC在BC上运动时，要求y关于x的函数解析式，只需要用勾股定理表示PE2=PC2+EC2就可以使问题到解决，而关键是解决PE2，又在Rt△APE中由勾股定理求得，从而解决问题．
（2）把x=3的值代入第一问的解析式就可以求出CE的值，再利用三角形相似就可以求出CF的值．
（3）由条件可以证明△ABP∽△PCE，可以得到==2，再分情况讨论，从而求出BP的值．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠BCD=∠D=90°，
∵BP=x，CE=y，
∴PC=5-x，DE=4-y，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△ABP∽△PCE，
∴，
∴，
∴y=，
自变量的取值范围为：0＜x＜5；

（2）当x=3时，y=，
=，即CE=，
∴DE=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD平行于BF．
∴△AED∽△FEC，
∴，
∴，
∴CF=3；

（3）根据tan∠PAE=，可得：=2     
易得：△ABP∽△PCE
∴==2
于是：==2 ①或 ==2 ②
解得：x=3，y=1.5或 x=7，y=3.5．
∴BP=3或7．