Question

已知抛物线y=x²+bx-c与x轴两交点的坐标分别为A（m，0），B（-3m，0）（m＜0）．
（1）证明：b²+4c＞0；
（2）证明：4c=3b²；
（3）若该函数图象与y轴相交于点C，且△ABC的面积为6，求这个二次函数的最小值．

Answer

（1）根据已知，方程x2+bx-c=0有两个不同的实根，所以△=b2-4ac＞0代入求出即可；
（2）根据已知得出m，-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两根，再利用根与系数的关系得出b，c与m的关系即可；
（3）首先得出AB=-3m-m=-4m=-2b，OC=|-c|=c，再利用三角形面积公式得出关于b的方程求出即可．
（1）证明：由已知，方程x2+bx-c=0有两个不同的实根，
所以△=b2-4×1×（-c）=b2+4c＞0；

（2）证明：依题意，m，-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两根．
根据一元二次方程根与系数的关系，得m+（-3m）=-b，m×（-3m）=-c．
则b=2m＜0，c=3m2＞0．
则4c=3b2=12m2．

（3）【解析】
依题意，AB=-3m-m=-4m=-2b，OC=|-c|=c，
因为△ABC的面积==6，
由（2）知，4c=3b2，所以，
由，
解得  b=-2，
则c=b2=×（-2）2=3．
则y=x2-2x-3=（x-1）2-4．
故二次函数的最小值为-4．