Question

如图：人民海关缉私巡逻艇在东海执行巡逻任务时，发现在其所在位置O点的北偏西30°方向40海里的A点有一走私船正向正东方向航行，1小时后，测得走私船在O点的北偏东30°方向的B点．
（1）求走私船的速度；
（2）若走私船以同样的速度继续向正东方向航行，而巡逻艇在发现走私船在B点时，即刻沿北偏东45°方向以50海里/小时的速度追赶，问能否追上走私艇？
（3）若巡逻艇在发现走私船在B点时，即刻沿北偏东60°方向航行并追上走私船，问巡逻艇的航行速度至少达到多少海里/小时？

Answer

（1）由据题意得：∠AOD=30°，∠BOD=30°，易证得△AOB是等边三角形，即可求得AB=40海里，继而可求得走私船的速度；
（2）首先设过t小时，在C处追上走私艇，易得△COD是等腰直角三角形，则可得CD=OD，则可求得BC的长，继而求得追上走私艇所用时间；
（3）首先设过t小时，在C处追上走私艇，由解直角三角形的知识，可求得BC的长，即可求得走私艇到达点C的时间，继而求得巡逻艇的航行速度．
【解析】
（1）如图，根据题意得：∠AOD=30°，∠BOD=30°，
∵OD⊥AB，
∴∠A=∠OBA=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=40（海里），
∴40÷1=40（海里/时），
∴走私船的速度为40海里/时；

（2）能．
设过t小时，在C处追上走私艇，
∴BC=40t海里，OC=50t海里，
∵∠COD=45°，
∴OD=CD，
在Rt△OAD中，OD=AD•cos30°=40×=20（海里），BD=AB=20（海里），
∴CD=OD=20海里，
∴BC=CD-BD=20-20（海里），
∴40t=20-20，
解得：t=，
∴经过小时，追上走私艇；

（3）设过t小时，在C处追上走私艇，
∴BC=40t海里，OC=50t海里，
∵∠COD=60°，
∴∠C=30°，
∴OC=2OD=2×20=40（海里），CD=OD•tan60°=OD=60（海里），
∴BC=CD-BD=60-20=40（海里），
∴40t=40，
解得：t=1，
∴40÷1=40（海里/时）．
∴巡逻艇的航行速度至少达到40海里/小时．