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如图,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(6,0),直线AB交抛物线的...

如图,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(6,0),直线AB交抛物线的对称轴于点F,直线AC交抛物线对称轴于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证:点E与点F关于顶点D对称;
(3)在y轴上是否存在这样的点P,使△AFP与△FDC相似?若有,请求出所有合条件的点P的坐标;若没有,请说明理由.

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(1)根据点B、C的坐标设抛物线解析式为y=a(x-2)(x-6),把点A坐标代入求解得到a的值,即可得到函数解析式; (2)根据抛物线解析式确定出对称轴与顶点坐标,利用待定系数法求出直线AB、AC的解析式,然后求出点E、F的坐标,即可得证; (3)根据点A、B、C、D、F的坐标求出AF、FD、FC的长度,再利用正切函数确定出∠BAO=∠CFD,然后利用两边对应成比例,夹角相等,两三角形相似分两种情况列出比例式求出AP的长度,再求出OP的长度,即可得到点P的坐标. 【解析】 (1)∵抛物线过点B(2,0),C(6,0), ∴设抛物线解析式为y=a(x-2)(x-6), 又∵抛物线经过点A(0,6), ∴a(0-2)(0-6)=6, 解得a=, 所以,抛物线解析式为y=(x-2)(x-6), 即y=x2-4x+6; (2)证明:∵y=x2-4x+6=(x2-8x+16)-2=(x-4)2-2, ∴抛物线对称轴为直线x=4,顶点坐标为D(4,-2), 设直线AC解析式为y=kx+b, 则, 解得, 所以,直线AC的解析式为y=-x+6, 当x=4时,y=-4+6=2, 所以,点E(4,2), 所以,DE=2-(-2)=4, 设直线AB解析式为y=ex+f, 则, 解得, 所以,直线AB的解析式为y=-3x+6, 当x=4时,y=-3×4+6=-6, 所以,点F(4,-6), 所以,DF=-2-(-6)=4, 所以,DE=DF, 故,点E与点F关于顶点D对称; (3)【解析】 ∵A(0,6),B(2,0),C(6,0),D(4,-2),F(4,-6), ∴AF==4,FD=-2-(-6)=4,FC==2, ∵tan∠BAO===,tan∠CFD==, ∴∠BAO=∠CFD, ①当AP与FD是对应边时,∵△AFP∽△FCD, ∴=, 即=, 解得AP=8, 所以,OP=8-6=2, 此时,点P的坐标为(0,-2); ②当AP与FC是对应边时,∵△AFP∽△FDC, ∴=, 即=, 解得AP=20, 所以,OP=20-6=14, 此时,点P的坐标为(0,-14), 综上所述,存在点P(0,-2),(0,-14),使△AFP与△FDC相似.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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