Question

在平面直角坐标系内，已知点A和C的坐标分别为（8，0）和（5，4），过点C作CB⊥y轴于点B，点D从B出发，以每秒1个单位的速度延BO向终点O运动，点P从C出发，以每秒a（0＜a≤1.25）个单位的速度延CB向终点B运动（当D点到达O点，P点也随之停止）．过D作DE∥AC交OA于点E，过P作PQ∥AC交OA于点，连接PD，再过E作EF∥PD交PQ于F．设P、D两点的运动时间为t．
（1）分别求过A、C两点的直线和过B、C、A三点的抛物线的解析式；
（2）若a=1，求t为何值时，四边形DEFP为矩形？并求出此时直线PQ的解析式；
（3）是否存在这样的a，t的值，使四边形DEFP为正方形？若存在，求出此时a，t的值和正方形的面积；若不存在，说明理由；
（4）以A、O、C为顶点的△AOC中，M是AC上一动点，过M作MN∥OA交OC于N，试问，在x轴上是否存在点R，使得△MNR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知A、B、C三点的坐标，利用待定系数法能确定直线AC与抛物线的解析式．
（2）首先表示出BP、BD、OD、OE四边的长，若四边形DEFP为矩形，那么必须满足的条件是∠PDE是直角，此时△PBD、△DOE相似，可据此求出t的值，在求出BP的长以及点P的坐标后，利用待定系数法即可求出直线PQ的解析式（直线PQ与直线AC平行，那么它们的斜率相同，在设直线解析式时可利用这个特点）．
（3）方法同（2），不过由四边形DEFP为正方形得出的条件变为△PBD、△DOE全等，首先由BD=OE求出t的值，再由OD=BP求出a的值；进一步能得到DP、DE的长，由此求得正方形的面积．
（4）此题需要注意两方面：
①线段MN是底边（此时线段MN的长是点M纵坐标的2倍）；②线段MN为腰（此时线段MN的长等于点M的纵坐标）；
解法大致相同，首先设出点M或N的纵坐标，利用△CMN、△CAO相似，求出这个纵坐标，再利用直线OC、直线AC解析式确定出点M、N的坐标后，即可得到点P的坐标．
【解析】
（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，依题意，有：
，解得
∴直线AC：y=-x+．
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，依题意，有：
，解得
∴抛物线：y=-x2+x+c．

（2）过点B作BS∥AC，交x轴于点S，则AS=BC=5，OR=3，∴tan∠OBS=tan∠ODE=．
BP=BC-CP=5-at=5-t，BD=t，OD=OB-BD=4-t，OE=OD=3-t；
由题意，四边形DEFP是平行四边形，若四边形DEFP是矩形，所以∠PDE=90°；
∵∠PDB=∠DEO=90°-∠ODE，∠PBD=∠DOE=90°，
∴△PBD∽△DOE，得
即：=，解得 t=，则P（，4）；
由于直线PQ∥AC，设直线PQ：y=-x+b，代入点P，得：
-×+b=4，解得 b=
∴若a=1，当t=时，四边形DEFP为矩形；此时直线PQ的解析式：y=-x+．

（3）同（2）可求得：△PBD≌△DOE，则 BD=OE，BP=OD；
∴，解得
由题意，此时a的值不在0＜a≤1.25的范围内，所以不存在符合条件的a、t值．

（4）易求得：直线OC：y=x；直线AC：y=-x+．
设点M、N的纵坐标为m，分两种情况讨论：
（Ⅰ）线段MN为等腰Rt△MNR的底边，则 MN=2m；
由MN∥OA，得：=，解得 m=2；
∴M（，2）、N（，2）
∴点R（，0）．
（Ⅱ）线段MN为等腰Rt△MNR的腰，则 MN=m；
由MN∥OA，得：=，解得 m=
∴M（6，）、N（，）
①当点N是直角顶点时，NR⊥x轴，点R（，0）；
②当点M是直角顶点时，MR⊥x轴，点R（6，0）；
综上，存在符合条件的点R，且坐标为（，0）、（，0）、（6，0）．