Question

如图，正方形A₁B₁B₂C₁，A₂B₂B₃C₂，A₃B₃B₄C₃，…，A_nB_nB_n+1C_n，按如图所示放置，使点A₁、A₂、A₃、A_4、…、A_n在射线OA上，点B₁、B₂、B₃、B_4、…、B_n在射线OB上．若∠AOB=45°，OB₁=1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S₁，S₂，S₃，…，S_n，则S_n=    ．

Answer

根据正方形性质和等腰直角三角形性质得出OB1=A1B1=1，求出A1C1=A2C1=1，A2C2=A3C2=2，A3C3=A4C3=4，根据三角形的面积公式求出S1=×2×2，S2=×21×21，S3=×22×22，推出Sn=×2n-1×2n-1，求出即可．
【解析】
∵四边形A1B1B2C1是正方形，∠O=45°，
∴∠OA1B1=45°，
∴OB1=A1B1=1，
同理A1C1=A2C1=1，
即A2C2=1+1=2=A3C2，
A3C3=A4C3=2+2=4，
…，
∴S1=×1×1=×2×2，
S2=×2×2=×21×21
S3=×4×4=×22×22，
S4=×8×8=×23×23，
…
∴Sn=×2n-1×2n-1==22n-3．
故答案为：22n-3．