Question

如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作直线DE垂直BC于F，且交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若cos∠BAC=，⊙O的半径为6，求线段CD的长．

Answer

（1）连接BD、OD，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到BD与AC垂直，又BA=BC，利用等腰三角形的三线合一性质得到D为AC的中点，又O为AB的中点，可得出OD为三角形ABC的中位线，利用三角形中位线定理得到ODyuBC平行，由EF垂直于BC，得到EF垂直于OD，可得出EF为圆O的切线；
（2）由圆的半径为6，求出直径AB为12，在直角三角形ABD中，由cos∠BAC的值及AB的长，求出AD的长，再由第一问得到D为AC的中点，得到CD=AD，即可求出CD的长．
【解析】
（1）证明：连接BD、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
∵BA=BC，
∴D为AC中点，又O是AB中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∴∠BFE=∠ODE，
∵DE⊥BC，
∴∠BFE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴直线DE是⊙O的切线；

（2）∵⊙O的半径为6，
∴AB=12，
在Rt△ABD中，cos∠BAC==，
∴AD=4，
由（1）知BD是△ABC的中线，
∴CD=AD=4．