Question

函数，其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为    ．

Answer

设函数y=x2-ax+（a-1）与x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为|x1-x2|．欲求|x1-x2|的最小值，需要根据关于x一元二次方程
x2-ax+（a-1）=0的根与系数的关系与代数式的变形相结合求得（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1•x2=a2-a+1=（a-）2+，最后根据二次函数的最值的求法即可解得|x1-x2|的最小值．
【解析】
设函数y=x2-ax+（a-1）与x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），则
x1、x2是一元二次方程x2-ax+（a-1）=0的两个实数根，
由韦达定理得，x1+x2=a，x1•x2=（a-1），
则（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1•x2=a2-a+1=（a-）2+，
∵a为任意实数，∴（a-）2≥0，
∴（x1-x2）2≥，
∴|x1-x2|≥，
∴|x1-x2|的最小值是，即该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为．
故答案是：．