Question

如图，△ABC是锐角三角形，以BC为直径作⊙O，AD是⊙O的切线，从AB上一点E作AB的垂线交AC的延长线于F，若．
求证：AD=AE．

Answer

连接BN，根据BC为⊙O的直径，求证△ABN∽△AFE利用其对应边成比例得AE2=AN•AC，再利用切割线定理得出AD2=AN•AC，然后利用等量代换即可．
证明：如图，设AC交⊙O于点N．连接BN，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BNC=90°，
∴∠BNA=90°，
∵FE⊥AB，
∴∠AEF=90°=∠BNA，
∠BNA=∠FAE，
∴△ABN∽△AFE，
∴=，
∵，
∴=，即AE2=AN•AC，
∵AD切⊙O于D，ANC为割线，
AD2=AN•AC，
即AD=AE．