Question

已知关于x的方程k²x²-（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂．
（1）求k的最小整数值；
（2）若（|x₁|-1）（|x₂|-1）=-3k，求k的值．

Answer

（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号列出关于k的不等式（2k+1）2-4k2＞0，且k≠0，通过解该不等式即可求得k的取值范围，由此来确定k的最小整数值；
（2）根据根与系数的关系确定x1x2、x1+x2的符号，从而去掉绝对值，列出关于k的方程3k2+k+2=0，通过解方程即可求得k的值．
【解析】
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，且k≠0，
即（2k+1）2-4k2＞0，
解得k＞-，
∵k取最小整数，
∴k=1；

（2）∵x1、x2是方程两个不相等的实数根，
∴x1+x2=-=，x1x2==＞0，
∴x1、x2同号，
∴|x1|•|x2|=|x1x2|，|x1|+|x2|=|x1+x2|，
∵（|x1|-1）（|x2|-1）=-3k，
∴|x1x2|-（|x1|+|x2|）+1=-3k，
∴-+1=-3k，
由（1）知k＞-，
则|2k+1|=2k+1，
于是可得3k2+k-2=0，
解得k1=，k2=-1（不合题意，舍去）．