Question

如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0）．将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转135°，得到矩形EFGH（点E与O重合）．
（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM=______°，OM=______

Answer

（1）由旋转可得出∠AOF=135°，再由矩形的内角为直角得到一个角为直角，利用∠AOF-∠AOC求出∠COF的度数，再由∠MOC为直角，由∠MOC-∠COF即可求出∠MOF的度数；由∠MOF的度数为45°，利用两直线平行得到一对内错角相等，可得出三角形OHM为等腰直角三角形，由OH=MH=2，利用勾股定理即可求出OM的长；
（2）①如图所示，当AD与BO平行时，由AB与DO平行，利用两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ABOD为平行四边形，由平行四边形的对边相等得到AB=DO=2，由平移可知：∠HEM=45°，可得出∠OMD=∠ODM=45°，即三角形ODM为等腰直角三角形，得到OD=OM，由OD的长求出OM的长，由三角形HEM为等腰直角三角形，且直角边长为2，利用勾股定理求出EM的长，用EM-OM即可求出平移的距离，即为t的值；
②分三种情况考虑：（i）如图1所示，当0＜t＜2时，重叠部分为等腰直角三角形，由平移的距离为t，得到等腰直角三角形直角边为t，利用三角形的面积公式即可表示出S；（ii）如图2所示，当2≤t＜2时，重叠部分为直角梯形，表示出上底，下底及高，利用梯形的面积公式表示出S即可；（iii）如图3所示，当2≤t≤4-2时，重叠部分为五边形，由梯形面积-三角形面积，表示出S即可．
【解析】
（1）如图所示：

由旋转可得：∠AOF=135°，又∠AOC=90°，
∴∠COF=∠AOF-∠AOC=45°，又∠MOC=90°，
∴∠FOM=45°，又OF∥HG，
∴∠OMH=∠FOM=45°，又∠H=90°，
∴△OHM为等腰直角三角形，
∴OH=HM=2，
则根据勾股定理得：OM=2；

（2）①如图所示：连接AD，BO

∵AD∥BO，AB∥OD，
∴四边形ADOB为平行四边形，
∴DO=AB=2，
由平移可知：∠HEM=45°，
∴∠OMD=∠ODM=45°，
∴OM=OD=2，
由平移可知：EM=2，
∴矩形EFGH平移的路程t=2-2=2（-1）；
②分三种情况考虑：
（i）如图1所示，当0＜t≤2时，重叠部分为等腰直角三角形，
此时OE=t，则重叠部分面积S=t2；

（ii）如图2所示，当2＜t≤2时，重叠部分为直角梯形，
此时S=[（t-2）+t]×2=2t-2；

（iii）如图3所示，当2＜t≤4-2时，E点在A点下方，重叠部分为五边形，
此时S=（2t-2）-（t-2）2=-t2+2（+1）t-6．

综上，S=．
故答案为：45；2．