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点P在等腰Rt△ABC的斜边AB所在直线上,若记:k=AP2+BP2,则( ) ...

点P在等腰Rt△ABC的斜边AB所在直线上,若记:k=AP2+BP2,则( )
A.满足条件k<2CP2的点P有且只有一个
B.B满足条件k<2CP2的点P有无数个
C.C满足条件k=2CP2的点P有有限个
D.对直线AB上的所有点P,都有k=2CP2
此题分两种情况讨论:①当P在线段AB上,②当P在直线AB上(线段AB以外的部分);可利用勾股定理来探讨符合要求的点P有哪些. 【解析】 当P为AB上时,假设P为中点时,AP=PB=PC,满足条件, 当点P不为中点时,过点C作AB的垂线,亦满足条件; 当点P在BA的延长线上时,过点P作PF⊥BC,PE⊥CA; PC2=PF2+CF2,AP2=AE2+PE2=AE2+FC2=2CF2 PB2=BF2+PF2=PF2+(BC+CF)2=2PF2 AP2+PB2=2CF2+PF2+PF2 2PC2=2PF2+2CF2 所以AP2+PB2=2PC2, 即k=2CP2; 同理,当点P在AB的延长线上时,k=2CP2. 综上可知:k=2CP2. 故选D.
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