Question

已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM=DM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．

Answer

（1）易证△AME是等腰三角形．则AM=AE=AB=AD，就可以证出；
（2）同理可以证出△DFM是等腰三角形，则DF=AD，就可以求出边长，求出周长．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC．
又∵EF⊥AC，
∴AC是EM的垂直平分线，
∴AE=AM，
∵AE=AM=AB=AD，
∴AM=DM．

（2）【解析】
∵AB∥CD，
∴∠AEM=∠F．
又∵∠FMD=∠AME，∠AME=∠AEM，
∴∠FMD=∠F，
∴△DFM是等腰三角形，
∴DF=DM=AD．
∴AD=4．
∴菱形ABCD的周长是16．