Question

如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；
（2）在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．求出此时△APQ的面积．
（3）在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB-BO-OP于点F． 当DF经过原点O时，请直接写出t的值．

Answer

过Q作QH⊥AP于H点，构造直角三角形APQ．
（1）在Rt△AOB中，利用勾股定理求得AB；①P由O向A运动时，OP=AQ=t，AP=4-t．根据平行线截线段成比例的性质求得QH，然后求△APQ的面积；②P由A向O运动时，AP=t-4，AQ=t，由直角三角形ABO中的锐角的正弦求得QH=，然后求△APQ的面积；
（2）根据翻折的性质知△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°．在直角三角形AOB与直角三角形APQ中通过∠A的余弦值求得cosA===．①当0＜t＜4时，求得t值；②当4＜t≤5时，求得t值；然后将其代入（1）中的函数解析式；
（3）①若PE∥BQ，则梯形PQBE是等腰梯形．过E、P分分别作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．构造矩形PNME．则有BM=QN，由PE∥BQ，
得，从而求得MB的值；在直角三角形APN中根据AP求得QN的值，然后由BM=QN，求得t，所以点E的坐标就迎刃而解了；②若PQ∥BE，则等腰梯形PQBE中BQ=EP且PQ⊥OA于P点．由OP+AP=OA求得t值；
（4）①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．再有边角关系求得BQ=AQ=AE，解得t值；②②当P由A向O运动时，OQ=OP=8-t．在Rt△OGQ中，利用勾股定理得OQ2=QG2+OG2，列出关于t的方程，解方程即可．
【解析】
（1）在Rt△AOB中，OA=4，OB=3
∴AB=
①P由O向A运动时，OP=AQ=t，AP=4-t
过Q作QH⊥AP于H点．
由QH∥BO，得

∴
即（0＜t＜4）
②当4＜t≤5时，即P由A向O运动时，AP=t-4AQ=t
sin∠BAO=
QH=，
∴
=；
综上所述，S△APQ=；

（2）由题意知，此时△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，
∴cosA===，
当0＜t＜4∴即
当4＜t≤5时，=，t=-16（舍去）
∴；

（3）存在，有以下两种情况
①若PE∥BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE
过E、P分分别作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．
则有BM=QN，由PE∥BQ，
得，
∴；
又∵AP=4-t，
∴AN=，
∴，
由BM=QN，得
∴，
∴；
②若PQ∥BE，则等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P点
由题意知
∵OP+AP=OA，
∴
∴t=，
∴OE=，
∴点E（0，-）
由①②得E点坐标为（0，）或（0，-）．

（4）①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．
可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO
∴OQ=BQ=t∴BQ=AQ=AE
∴；
②当P由A向O运动时，OQ=OP=8-t
BQ=5-t，
在Rt△OGQ中，OQ2=QG2+OG2
即（8-t）2=
∴t=5