Question

某饮料批发商销售某种品牌的饮料，进价4元/瓶，售价8元/瓶．为了促销，商家规定凡是一次性购买400瓶以上的，每多买1瓶，售价就降低0.0025元（例如：某人买500瓶饮料，于是每瓶降价0.0025×（500-400）=0.25元，就可以按7.75元/瓶的价格购买，总价为500×7.75=3875元），但是最低价为5元/瓶．
（1）求顾客一次至少买多少瓶，才能以最低价购买？
（2）写出当一次购买400瓶以上（包括400瓶），总利润y元与购买量x瓶之间的函数关系式．
（3）有一天，一位顾客买了1100瓶，另一位顾客买了1200瓶，商家发现卖了1200瓶反而比卖1100瓶赚的钱少，为了使每次卖的多赚钱也多，最低价5元/瓶，至少要提高到多少？为什么？

Answer

（1）当最低价5元/瓶时，每瓶降了（8-5）元，利用每多买1瓶，售价就降低0.0025元，表示出多买的瓶数，用多买的瓶数加400，即可得到以最低价购买顾客一次至少买的瓶数；
（2）设购买量为x瓶，则多买（x-400）瓶，每多买1瓶，售价就降低0.0025元，表示出降价的钱数，用售价-进价-降价的钱数，表示出每瓶的利润，再由每瓶的利润×购买的瓶数=总利润，即可列出y与x的函数解析式；
（3）将（1）列出的y与x的二次函数解析式配方为顶点形式，利用二次函数的图象与性质得出顾客一次买1000瓶时，商家的总利润最高，当购买瓶数为1000～1600时，顾客买的越多，商家的总利润反而越低，故求出顾客购买1000瓶时的价格，即为使每次卖的多赚钱也多，最低价5元/瓶，至少要提高的价格．
【解析】
（1）当顾客购买：400+（8-5）÷0.0025=1600瓶时，达到最低价格；

（2）当一次购买瓶数大于400，购买x瓶，
每瓶的利润为：8-4-（x-400）×0.0025=5-0.0025x，
则总利润y=x（5-0.0025x）=-0.0025x2+5x（400≤x≤1600）；

（3）y=-0.0025（x2-2000x）=-0.0025（x-1000）2+2500，
当x=1000时，y最大=2500，
∴顾客一次买1000瓶时，商家的总利润最高；
当购买瓶数为1000～1600时，顾客买的越多，商家的总利润反而越低，
∴顾客购买1000瓶时，价格为：8-0.0025×（1000-400）=6.5元/瓶，
则超过1000元部分不宜再降价，应把最低价提至6.5元/瓶．