Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线y=x²先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-h）²+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为M；
（1）写出h、k的值以及点A、B的坐标；
（2）判断三角形BCM的形状，并计算其面积；
（3）点P是抛物线上一动点，连接AP，以AP为一边作正方形APFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，请写出对应的点P的坐标．

Answer

（1）利用抛物线的平移规律即可求得h和k的值；然后令y=0即可求得与x轴的交点坐标；
（2）首先求得点C和点M的坐标，然后求得BC、CM及BM的长，最后利用勾股定理逆定理判定直角三角形即可；
（3）分别根据当点G在y轴上时和点F在y轴上时两种情况利用△AOG≌△PHA和△AMP≌△FNP求得点P的坐标即可．
【解析】
（1）∵抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-1）2-4，
∴h=1，k=-4；
令y=0，即（x-1）2-4=0
解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B （3，0），

（2）∵令x=0，得y=（0-1）2-4=-3，
∴点C的坐标为（0，-3），点M的坐标为（1，-4）
∴BC=3，MC=，BM=2
∴BC2+MC2=BM2
∴△BMC是直角三角形； 
∴S=BC•CM=×3×=3；
（3）①如图（1），（2）当点G在y轴上时，
由△AOG≌△PHA，
得PH=OA，得yP=xA=-1，∴x2-2x-3=-1，
得x=1±，∴P1（1-，-1），P2（1+，-1）
②如图（3），当点F在y轴上时，由△AMP≌△FNP，
得PM=PN，得yP=xP，
则x2-2x-3=x，
得x=，（x=舍去），
故P3（，）．