Question

如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC的长为6，∠ACB的角平分线交⊙O于D，则CD长为    ．

Answer

作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD的长．
【解析】
作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．
∴∠AFD=∠BGD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴DF=DG，=，
∴DA=DB．
在Rt△AFD和Rt△BGD中，
∵
∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），
∴AF=BG．
在Rt△CDF和Rt△CDG中，
∵，
∴Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），
∴CF=CG．
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，AC=6，
∴由勾股定理得：BC=8，
设AF=BG=x，
∵BC=8，AC=6，
∴8-x=6+x，
解得：x=1，
∴AF=1，
∴CF=7，
∵∠ACB的角平分线，
∴∠FCD=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=7．
故答案为：7．