Question

如图，二次函数y=a（x²-3x-4）（其中a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠BAC=2．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若以AC、BC为邻边作▱ACBD，则D点关于x的对称点D′是否在该函数的图象上，为什么？
（3）在（2）的条件下过D′的直线将▱ACBD的面积二等分，求这条直线的表达式．

Answer

（1）令y=0，解方程求出A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据∠BAC的正切值求出OC的长度，然后根据两边对应成比例夹角相等判定△AOC和△COB相似，根据相似三角形对应角相等可得∠ACO=∠CBO，然后求出∠ACB=90°，即可得解；
（2）根据（1）中OC的长度求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据平行四边形的对角线互相平分，先求出AB的中点坐标，然后利用中点公式求出点D的坐标，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出点D′的坐标，最后代入二次函数解析式进行验证即可；
（3）根据过平行四边形中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，可知所求直线必过点D′与平行四边形中心，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可．
【解析】
（1）△ABC是直角三角形．
理由如下：令y=0，则a（x2-3x-4）=0，
解得x1=-1，x2=4，
所以，点A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∵tan∠BAC=2，
∴=2，
即=2，
解得OC=2，
∵=，==，
∴=，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（2）由（1）可知OC=2，
所以，点C（0，-2），
把点C坐标代入y=a（x2-3x-4）得，-4a=-2，解得a=，
所以，二次函数解析式为y=（x2-3x-4），
∵▱ACBD以AC、BC为邻边，
∴AB、CD互相平分，
∵点A（-1，0），B（4，0），（-1+4）=1.5，
∴AB的中点坐标为（1.5，0），
∴点D的坐标为（3，2），
∵点D′与点D关于x轴对称，
∴点D′（3，-2），
当x=3时，y=（32-3×3-4）=-2，
所以，点D′在该函数的图象；

（3）∵过平行四边形中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，
∴所求直线过点（1.5，0），（3，-2），
设直线解析式为y=kx+b，
则，
解得，
所以，直线解析式为y=-x+2．