Question

▱ABCD中，AB=10（AB＞AD），AD与BC之间的距离为6，点E在线段AB上移动，以E为圆心，AE长为半径作⊙E．
（1）如图1，若⊙E与BC所在的直线相切，求AE之长；
（2）如图2，若E点是∠DCB的角平分线与AB的交点，这时若⊙E与BC所在的直线相切于点F．
①试说明此时⊙E也与CD所在的直线相切；
②求此时AD的长．

Answer

（1）如图1，过点B作BG⊥AD于点G，连接EF．利用平行线AD∥CB的性质推知内错角∠DAB=∠ABF；然后在Rt△ABG和Rt△BEF中根据三角函数的定义求得==，利用比例的性质即可求得AE的值；
（2）①如图2，过圆心E作EG垂直于CD所在的直线于点G，连接EF．利用切线的性质、角平分线的性质推知GE=EF，即点G也在⊙E上，所以⊙E与CD所在的直线相切；
②根据图形知BE=AB-AE=；由平行线的性质、平行四边形的性质以及角平分线的性质推知AD=BC=EB=．
【解析】
（1）如图1，过点B作BG⊥AD于点G，连接EF．
∵AD与BC之间的距离为6，
∴BG=6；
∴sin∠DAB===；
又∵CF是⊙E的切线，
∴EF⊥CF，
∴sin∠BEF=；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC（平行四边形的对边相互平行），
∴∠DAB=∠ABF（两直线平行，内错角相等）；
∵AE=EF（⊙E的半径），
∴=，即=，
∴AE=；

（2）①如图2，过圆心E作EG垂直于CD所在的直线于点G，连接EF．
∵CF是⊙E的切线，点F是切点，
∴EF⊥CF；
又∵E点是∠DCB的角平分线与AB的交点，
∴EG=EF（角平分线上的点到该角两边的距离相等），
∴点G在⊙E上，
∴⊙E与CD所在的直线相切；
②如图2，延长FE交AD于点H．
∵EF⊥CF，CF∥AD，
∴HF⊥AD；
又∵=（平行线截线段成比例），HE=6，AE=EF（⊙E的半径），
∴=，
∴AE=，
∴BE=AB-AE=10-=；
∵CD∥AB（平行四边形的对边平行），
∴∠DCE=∠CEB；
∵∠DCE=∠BCE（角平分线的性质），
∴∠CEB=∠ECB（等量代换），
∴EB=CB（等角对等边）；
∵AD=BC（平行四边形的对边相等），
∴AD=BE=．