Question

在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点．连接BE、EF．

（1）求证：EF=BF；
（2）在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG：GD=3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．

Answer

（1）根据平行四边形性质推出BD=2BO，推出AB=BO，根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF即可；
（2）根据矩形性质和已知求出G为OD中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG=BC，求出EG∥BC，EG=BC，求出BF=EG，BF∥EG，EG=GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可．
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2BO，
∵BD=2AB，
∴AB=BO，
∵E为OA中点，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∵F为BC中点，
∴EF=BF=CF，
即EF=BF；

（2）四边形EBFG是菱形，
证明：连接CG，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，BD=2BO=2OD，
∴BD=2AB=2CD，
∴OC=CD，
∵BG：GD=3：1，OB=OD，
∴G为OD中点，
∴CG⊥OD（三线合一定理），
即∠CGB=90°，
∵F为BC中点，
∴GF=BC=AD，
∵E为OA中点，G为OD中点，
∴EG∥AD，EG=AD，
∴EG∥BC，EG=BC，
∵F为BC中点，
∴BF=BC，EG=GF，
即EG∥BF，EG=BF，
∴四边形EBFG是平行四边形，
∵EG=GF，
∴平行四边形EBFG是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．