Question

某商场计划采购甲、乙、丙三种型号的“格力”牌空调共25台．三种型号的空调进价和售价如下表：

种类 价格	甲	乙	丙
进价（元/台）	1600	1800	2400
售价（元/台）	1800	2050	2600

商场计划投入总资金5万元，所购进的甲、丙型号空调数量相同，乙型号数量不超过甲型号数量的一半．若设购买甲型号空调x台，所有型号空调全部售出后获得的总利润为W元．
（1）求W与x之间的函数关系式．
（2）商场如何采购空调才能获得最大利润？
（3）由于原材料上涨，商场决定将丙型号空调的售价提高a元（a≥100），其余型号售价不变，则商场又该如何采购才能获得最大利润？

Answer

（1）设购买甲型号空调x台，可得丙型空调为x台，乙型空调（25-2x）台，再表示出三种空调各自的利润，最后将三种空调的利润加起来就是W．
（2）先根据条件求出x的取值范围，再根据（1）的解析式图象特征确定x的值，就可以确定最大利润．
（3）把丙型空调提高后的售价代入（1）的解析式，再根据函数的性质特征求出购买方案．
【解析】
（1）设购买甲型号空调x台，可得丙型空调为x台，乙型空调（25-2x）台，
则W=（1800-1600）x+（2050-1800）（25-2x）+（2600-2400）x=6250-100x；
（2）由题意得：0≤25-2x≤x，
解得：10≤x≤12.5，
又∵x为正整数，得到x=10，11，12，
∵W=6250-100x，
∴k=-100＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x=10时，W有最大值5250元．
∴商场采购甲型号空调10台，乙型空调5台，丙型空调为10台利润最大；
（3）根据题意，得
W=（1800-1600）x+（2050-1800）（25-2x）+（2600+a-2400）x
=（a-100）x+6250．
∵a≥100，
∴a-100≥0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x=12时，W最大．
故商场采购甲型号空调12台，乙型空调1台，丙型空调为12台利润最大；