Question

如图，抛物线y=-（x-1）²+4的顶点为A，与x轴相交于B、C两点，直线y=-2x+6经过A、C两点，且点C的坐标为（3，0），连接OA．
（1）求出点B的坐标和直线OA的解析式．
（2）直线y=m（0＜m＜4）分别与AO、AC交于点E和F，若将△AEF沿EF折叠，设折叠后的△A'EF与△AOC重叠部分的面积为S．
①用含m的代数式表示线段EF的长．
②试求S与m的函数关系式．且当m为何值时，S有最大值？
（3）设直线y=m与y轴交于点Q，则在抛物线上是否存在这样的点P，使以点Q、P、C、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标．

Answer

（1）由抛物线的解析式可得到抛物线的对称轴解析式，而点B、C关于抛物线对称轴对称，而点C坐标已知，则点B坐标可求；
抛物线的解析式直接写成了顶点式，则点A的坐标可得，利用待定系数法即可得到直线OA的解析式．
（2）①直线OA、AC的解析式已知，令它们的函数值为m，即可得到点E、F的坐标，进而能求出线段EF的长；
②分两种情况考虑：
1、2≤m＜4时，△A′EF在△OAC内部，它们的重叠部分是整个△A′EF，而△A′EF是由△AEF折叠所得，所以它们的面积相等，可据此思路求解；
2、0＜m＜2时，△A′EF与△OAC的重叠部分是一个梯形，可先求出梯形的两底长，而高易知（即m），则面积可求．
（3）由于平行四边形的四个顶点顺序没有明确，所以要分两种情况讨论：
①线段QP是平行四边形的对角线；由于平行四边形是中心对称图形，所以此种情况下，点Q、P关于线段BC的中点对称，即点Q、P的横坐标关于抛物线对称轴对称，联立抛物线解析式不难得到点P的坐标；
②线段QP是平行四边形的边；已知BC=4，那么将点Q向左或向右平移4个单位后，必为点P，所以此时点P的横坐标为4或-4，代入抛物线解析式中即可得到点P的坐标．
【解析】
（1）由抛物线y=-（x-1）2+4知：顶点A（1，4），对称轴 x=1；
∵点B、C关于抛物线对称轴对称，且C（3，0），
∴B（-1，0）；
设直线OA的解析式为 y=kx，代入点A的坐标，得：k=4；
则直线OA：y=4x．

（2）①直线OA：y=4x中，当y=m时，x=；
则点E（，m），同理可求得F（，m）；
故EF=-=．
②当点A′在x轴上时，m=2，所以分两种情况：
1、2≤m＜4时，△A′EF在△AOC内部，它们的重叠部分是△A′EF；
S=S△AEF=××（4-m）=（4-m）2；
由于2≤m＜4在对称轴左侧，所以当m=2，S有最大值，且：
Smax=（4-2）2=；
2、0＜m＜2时，△A′EF与△AOC的重叠部分是梯形MNFE（如右图）；
GH=m，AH=4，则 AG=A′G=4-m，A′H=A′G-GH=4-m-m=4-2m；
在Rt△AOH中，OH=1，AH=4，∴tan∠OAH=tan∠EA′G=，同理可得：tan∠FA′G=tan∠CAH=；
∴MH=A′H×tan∠EA′G=（4-2m）×=1-，HN=A′H×tan∠FA′G=（4-2m）×=2-m，MN=MH+HN=3-；
S=S梯形MNFE=（EF+MN）GH=×（3-+3-）×m=-m2+3m=-（m-）2+2；
则当m=时，S有最大值，且Smax=2；
综上，S=，且当m=时，S有最大值，且最大值为2．

（3）由（1）知：B（-1，0）、C（3，0），则 BC=4；分两种情况讨论：
①当QP为平行四边形的对角线时，点Q、P关于BC的中点对称（因为平行四边形是中心对称图形，且对称中心为对角线的交点）；
故点P的横坐标为2，代入抛物线y=-（x-1）2+4中，得y=-（2-1）2+4=3；
则P1（2，3）；
②当QP为平行四边形的边时，则点P的横坐标为4或-4；
当x=4时，y=-（x-1）2+4=-（4-1）2+4=-5；
当x=-4时，y=-（x-1）2+4=-（-4-1）2+4=-21；
则P2（4，-5）、P3（-4，-21）；
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（2，3）、（4，-5）、（-4，-21）．