Question

如图①，矩形ABCD被对角线AC分为两个直角三角形，AB=4，BC=8．现将Rt△ADC绕点C顺时针旋转90°，点A旋转后的位置为点M，点D旋转后的位置为点N．以C为原点，以BC所在直线为x轴，以过点C垂直于BC的直线为y轴，建立如图②的平面直角坐标系．
（1）求直线AM的解析式；
（2）将Rt△MNC沿x轴的负方向平行移动，如图③．设OC=x（0＜x≤12），Rt△MNC与Rt△ABO的重叠部分面积为S；
①当x=2与x=10时，求S的值；
②S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据旋转的性质，求出A（-8，4），M（4，8）的坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；
（2）①当x=1时，如图1，重叠部分为△POC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答；②当x=10时，如图2，重叠部分为梯形NQAB，根据梯形的面积公式解答；
（3）①显然，画图分析，从图中可以看出：当0＜x≤4与10＜x≤12时，不会出现s的最大值；
②当4＜x≤8时，由图3可知：当x=8时，s最大；
③当8＜x≤10时，如图4，表示出各三角形的面积，再将s表示为S△OCN-S△OFM-S△BCG，转化为关于x的二次函数，根据二次函数的最值问题解答．
【解析】
（1）AB=4，BC=8，根据旋转的性质可得：A（-8，4），M（4，8），
设函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（-8，4），M（4，8）分别代入解析式得：
，
解得：，
则直线AM解析式为y=x+；

（2）①当x=1时，如图1，重叠部分为△POC，
∵Rt△POC∽Rt△BOA，且S△AOB=AB•OB=16，OC=1，OA==4，
∴=（）2，即=（）2=，
解得：S=；
②当x=10时，如图2，重叠部分为梯形NQAB，

可得：ON=OC-CN=10-4=6，BN=OB-ON=8-6=2，
又∵△ONQ∽△OBA，
∴=，即=，
∴NQ=3，
∴S=（QN+AB）•BN=×（3+4）×2=7；

（3）如图所示：

①显然，画图分析，从图中可以看出：当0＜x≤4与10＜x≤12时，不会出现S的最大值；
②当4＜x≤8时，由图3可知：当x=8时，S最大，
∵△OBF∽△OAB，
∴==，即==，
∴BF=，OF=，
又∵△OEN∽△OAB，且ON=OB-BN=8-4=4，
∴=，即=，
∴EN=2，
此时S△OBF=BF•OF=，S△OEN=EN•ON=4，
∴S=S△OBF-S△OEN=-4=；
③∵当8＜x≤10时，如图4，S△OCF=，S△OEN=，S△BCG=（x-8）2，
∴S=S△OCF-S△OEN-S△BCG=--（x-8）2=-x2+18x-68=-（x-）2+，
当x=时，S最大值为．
综上，当x=8时，S最大值为．