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如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A(3,0),B(0,manfen5.com 满分网)两点,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD=manfen5.com 满分网,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)因为直线AB与x轴,y轴分别交于A(3,0),B(0,)两点,所以可设y=kx+b,将A、B的坐标代入,利用方程组即可求出答案; (2)因为点C为线段AB上的一动点,CD⊥x轴于点D,所以可设点C坐标为(x,x+),那么OD=x,CD=x+,利用梯形的面积公式可列出关于x的方程,解之即可,但要注意x的取值; (3)因为∠AOB=90°,所以以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似需分情况探讨: 当∠OBP=90°时,如图 ①若△BOP∽△OBA,则∠BOP=∠BAO=30°,BP=OB=3,P1(3,). ②若△BPO∽△OBA,则∠BPO=∠BAO=30°,OP=OB=1,P2(1,). ③过点P作OP⊥BC于点P,此时△PBO∽△OBA,∠BOP=∠BAO=30°,OP=BP,过点P作PM⊥OA于点M,∠OPM=30°,OM=OP,PM=OM,从而求得P的坐标. ④若△POB∽△OBA,则∠OBP=∠BAO=30°,∠POM=30°,所以PM=OM,P4(,);当∠POB=90°时,点P在x轴上,不符合要求. 【解析】 (1)设直线AB解析式为:y=kx+b, 把A,B的坐标代入得k=-,b= 所以直线AB的解析为:y=x+. (2)方法一:设点C坐标为(x,x+),那么OD=x,CD=x+. ∴S梯形OBCD==x. 由题意:x=, 解得x1=2,x2=4(舍去), ∴C(2,)(1分) 方法二:∵,S梯形OBCD=,∴. 由OA=OB,得∠BAO=30°,AD=CD. ∴S△ACD=CD×AD==.可得CD=. ∴AD=1,OD=2.∴C(2,). (3)当∠OBP=90°时,如图 ①若△BOP∽△BAO, 则∠BOP=∠BAO=30°,BP=OB=3, ∴P1(3,).(2分) ②若△BPO∽△BAO, 则∠BPO=∠BAO=30°,OP=OB=1. ∴P2(1,).(1分) 当∠OPB=90°时 ③过点P作OP⊥BA于点P(如图), 此时△PBO∽△OBA,∠BOP=∠BAO=30° 过点P作PM⊥OA于点M. 方法一:在Rt△PBO中,BP=OB=, OP=BP=. ∵在Rt△PMO中,∠OPM=30°, ∴OM=OP=;PM=OM=.∴P3(,). 方法二:设P(x,x+),得OM=x, PM=x+, 由∠BOP=∠BAO,得∠POM=∠ABO. ∵tan∠POM==,tan∠ABO==. ∴x+=x,解得x=.此时P3(,). ④若△POB∽△OBA(如图), 则∠OBP=∠BAO=30°,∠POM=30度. ∴PM=OM=. ∴P4(,)(由对称性也可得到点P4的坐标). 当∠POB=90°时,点P在x轴上,不符合要求. 综合得,符合条件的点有四个,分别是:P1(3,),P2(1,),P3(,),P4(,).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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