Question

方程x²-kx+k-2=0有两个实数根x₁，x₂，且0＜x₁＜1，2＜x₂＜3，求k的取值范围．

Answer

由于方程x2-kx+k-2=0有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜1，2＜x2＜3，根据一元二次方程与二次函数的关系可画出二次函数y=x2-kx+k-2的图象，根据图象得到当x=0，y=k-2＞0；当x=1，y=1-k+k-2＜0；当x=2，y=4-2k+k-2＜0；当x=3，y=9-3k+k-2＞0，求出几个不等式解的公共部分即可得到k的取值范围．
【解析】
∵方程x2-kx+k-2=0有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜1，2＜x2＜3，
∴二次函数y=x2-kx+k-2如图所示，
∴x=0，y=k-2＞0；x=1，y=1-k+k-2＜0；x=2，y=4-2k+k-2＜0；x=3，y=9-3k+k-2＞0，
而△=k2-4（k-2）=（k-2）2+4＞0，
∴2＜k＜，
即k的取值范围为2＜k＜．