Question

已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE=∠DBM．
（1）如图所示，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间存在怎样的数量关系，请说明理由；
（2）在（1）的条件下，延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=，求tan∠ACP的值．

Answer

（1）AE=2MD，理由为：由题意得到三角形ABC为等边三角形，可得出AB=BC，再由D为BC的中点，得到AB=2BD，由已知的两对角相等，得到△ABE∽△DBM，且相似比为2，可得出AE=2MD，得证；
（2）由于△ABE∽△DBM，相似比为2，故有EB=2BM，由题意知得△BEP为等边三角形，有EM⊥BP，∠BMD=∠AEB=90°，在Rt△AEB中求得AE、AB、tan∠EAB的值，由D为BC中点，M为BP中点，得DM∥PC，求得tan∠PCB的值，在Rt△ABD和Rt△NDC中，由锐角三角函数的定义求得AD、ND的值，进而求得tan∠ACP的值．
【解析】
（1）AE=2MD，理由为：
证明：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，又D为BC的中点，
∴AB=BC=2BD，即=2，
∵∠BAE=∠BDF，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴==2，即AE=2MD；
（2）如图2，连接AD，EP，过N作NH⊥AC，垂足为H，连接NH，

∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=AB，
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴==2，∠AEB=∠DMB，
∴EB=2BM，
又∵BM=MP，
∴EB=BP，
∵∠EBM=∠EBA+∠ABM=∠MBD+∠ABM=∠ABC=60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°，
∴∠AEB=90°，
在Rt△AEB中，AE=2，AB=7，
∴BE==，
∴tan∠EAB==，
∵D为BC中点，M为BP中点，
∴DM∥PC，
∴∠MDB=∠PCB，
∴∠EAB=∠PCB，
∴tan∠PCB=，
在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=，
在Rt△NDC中，ND=DC•tan∠NCD=，
∴NA=AD-ND=，
在Rt△ANH中，NH=AN=，AH=AN•cos∠NAH=，
∴CH=AC-AH=，
∴tan∠ACP==．