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如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P、Q同时从点C出...

如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P、Q同时从点C出发,以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动.当点Q到达点B时,点P、Q同时停止运动.过点P作AC的垂线l交AB于点R,连接PQ、RQ,并作△PQR关于直线l对称的图形,得到△PQ′R.设点Q的运动时间为t(s),△PQ′R与△PAR重叠部分的面积为S(cm2).
(1)t为何值时,点Q′恰好落在AB上?
(2)求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)S能否为manfen5.com 满分网cm2?若能,求出此时的t值;若不能,说明理由.
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(1)如图所示,连接QQ′,由题意得到三角形PQC为等腰直角三角形,可得出∠CPQ=45°,再由l与AC垂直,得到∠RPQ也为45°,进而由对称性得出PQ′=PQ,∠QPQ′=90°,QQ′=2t,且QQ′∥CA,由平行得到一对同位角相等,再由公共角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似得到△BQQ′∽△BCA,由相似得比例,将各自的值代入列出关于t的方程,求出方程的解即可得到此时t的值; (2)由(1)求出t的值,分两种情况考虑:当0<t≤2.4时,过Q′作Q′D⊥l于D点,则Q′D=t,由RP与BC平行,利用两直线平行得到两对同位角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似得到△RPA∽△BCA,由相似得比例表示出RP,利用三角形的面积公式表示出S关于t的关系式即可;当2.4<t≤6时,记PQ′与AB的交点为E,过E作ED⊥l于D,由对称性得到由对称可得:∠DPE=∠DEP=45°,可得出三角形DEP为等腰直角三角形,得到DE=DP,由△RDE∽△BCA,利用相似得比例,表示出DR,再由△RPA∽△BCA,由相似得比例,表示出RP,由RP=RD+DP=RD+DE,将表示出的DR及RP代入,表示出DE,利用三角形的面积公式即可表示出S与t的关系式; (3)S能为cm2,具体求法为:当0<t≤2.4时,令S=,得出关于t的一元二次方程,求出方程的解得到t的值;当2.4<t≤6时,令S=,得出关于t的一元二次方程,求出方程的解得到t的值,经检验得到满足题意t的值. 【解析】 (1)连接QQ′, ∵PC=QC,∠C=90°, ∴∠CPQ=45°,又l⊥AC, ∴∠RPQ=∠RPC-∠CPQ=90°-45°=45°, 由对称可得PQ′=PQ,∠QPQ′=90°,QQ′=2t,且QQ′∥CA, ∴∠BQQ′=∠BCA,又∠B=∠B, ∴△BQQ′∽△BCA, ∴==,即=, 解得:t=2.4; (2)当0<t≤2.4时,过Q′作Q′D⊥l于D点,则Q′D=t, 又∵RP∥BC, ∴△RPA∽△BCA, ∴=,即=, ∴RP=(8-t)•=, ∴S=RP•Q′D=••t=-t2+3t; 当2.4<t≤6时,记PQ′与AB的交点为E,过E作ED⊥l于D, 由对称可得:∠DPE=∠DEP=45°, 又∵∠PDE=90°, ∴△DEP为等腰直角三角形, ∴DP=DE, ∵△RDE∽△BCA, ∴===,即DR=DE, ∵△RPA∽△BCA, ∴=,即=, ∴RP=, ∴RP=RD+DP=DR+DE=DE+DE=,即DE=, ∴DE=, ∴S=RP•DE=••=t2-t+; (3)S能为cm2,理由为: 若t2-t+=(2.4<t≤6), 整理得:t2-16t+57=0, 解得:t==8±, ∴t1=8+(舍去),t2=8-; 若-t2+3t=(0<t≤2.4), 整理得:t2-8t+3=0, 解得:t==4±, ∴t1=4+(舍去),t2=4-, 综上,当S为cm2时,t的值为(8-)或(4-)秒.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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