Question

已知：直角坐标系xoy中，将直线y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B（-3，0）及y轴上的C点．若抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），且经过点C，
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．

Answer

（1）先根据y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后经过y轴上的点C求出C点的坐标，再用待定系数法求出直线BC的解析式，再根据抛物线y=-x2+bx+c过点B，C，把B、C两点的坐标代入所设函数解析式即可求出此解析式；
（2）根据（1）中二次函数的解析式可求出A、D两点的坐标，判断出△OBC是等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义可求出∠OBC的度数，过点A作AE⊥BC于点E，利用勾股定理可求出BE、AE及CE的长，再根据相似三角形的判定定理可得出△AEC∽△AFP，根据相似三角形的对应边成比例可求出PF的长，再点P在抛物线的对称轴上即可求出点P的坐标．
【解析】
（1）∵y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后经过y轴上的点C，
∴此时直线的解析式为y=kx-3，令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3）（1分）
设直线BC的解析式为y=kx-3．（1分）
∵B（-3，0）在直线BC上，
∴-3k-3=0解得k=-1．
∴直线BC的解析式为y=-x-3．（1分）
∵抛物线y=-x2+bx+c过点B，C，
∴（2分）
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2-4x-3；（1分）

（2）由y=-x2-4x-3．可得D（-2，1），A（-1，0）．（1分）
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，
可得△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OBC=45°，CB=3．（1分）
设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴AF=AB=1．
过点A作AE⊥BC于点E．
∴∠AEB=90°．
可得BE=AE=，CE=2，（1分）
在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．（1分）
∴=，=，
解得，PF=2，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（-2，-2），（-2，2）（不合题意舍去）．（2分）