Question

如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB，垂足为P，求证：PC²=PA•PB．

Answer

连接AC，BD，先证明△APC∽△DPB，得到CP•DP=AP•BP，再根据垂径定理得到CP=PD，等量代换可得PC2=PA•PB．
证明：连接AC，BD，
∵∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△APC∽△DPB．
∴=，
∴CP•DP=AP•BP．
∵AB是直径，CD⊥AB，
∴CP=PD．
∴PC2=PA•PB．